陶哲轩最新力作开云官网切尔西赞助商，在"天然数倒数之和是否为有理数"问题上取得一系列进展。

其中最引东说念主瞩贪图一项效能，等于证明了一个非常反直观的意象，居、然、是、对、的：

存在一个递加的天然数级数 ak，使得对狂妄有理数 t，皆是有理数。（）

一位 Topos 扣问所的数学物理学家John Carlos Baez在驳倒区绝不装璜我方的咋舌：

哇哦，这个论断太反直观了！

不外这也意味着这项扣问非常道理。

为啥说这个论断非常反直观？

不错荟萃成，要使一个级数的和是有理数本来就很难，再加上狂妄有理数 t 的偏移量，还让级数保抓有感性，难度就又加几个数目级了。

需要欢娱对所有有理数 t 皆设立，而有理数有无尽多个

每加多一个 t，就止境于加多一个经管条目

改造序列中任何一个数字 ak，皆会同期影响所有 t 对应的级数和

数学家Kenneth Stolarsky有时亦然如上所想的，是以建议了相悖的Stolarsky 意象。

咫尺，陶哲轩的论圮绝顶于证明了 Stolarsky 意象是不设立的。

简直，数学的神奇之处就在于，有时看似不成能的事情执行上是可能的，仅仅处治决策可能超出了咱们的直不雅见识。

那么，陶哲轩的智力是若何颠覆直观的？

迭代贴近法处治无限维度问题‍‍‍‍‍‍‍‍‍

从论文提交历史不错看到，这项扣问蓝本惟有Vjekoslav Kova č一个作家，扣问的是两个特定级数的有感性问题。

陶哲轩加入后，匡助 Kova č 推广到了对所有这个词 Ahmes 级数的扣问。

蓝本惟有 6 页的短论文，也推广成了 28 页长篇论证……

除了论文以外，陶哲轩还在个东说念主博客上解释了他们的念念路。

不是径直尝试构造这个级数，而是把问题升沉为扣问一种围聚，再使用"迭代贴近"智力，冉冉处治。

先来解释一下什么是Ahmes 级数。

Ahmes 级数是欢娱如下容颜的无尽级数，其中 ak 是一个严格递加的天然数序列。

由于大精深实数皆是漏洞数，东说念主们也会期许这么的级数"往往"亦然漏洞的，但很难笃定一个特定级数的漏洞性。

最初，此前数学界已知说念，若是 a ₖ的增长速率比 C ( 2k ) 更快（对狂妄常数 C），那么对应的 Ahmes 级数一定是漏洞数。

也等于存在一个明确的"增长速率分界线"，特等这个速率，级数势必漏洞。但接近这个速率时，仍可能找到有理的例子。

接下来，论文中标明了若是欢娱 a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ² ) ，意味着 a ₖ₊₁比 a ₖ ² 增长得慢得多。‍

那么不错找到一个可比拟的级数 b ₖ，和 a ₖ是渐进关系，且∑ ( 1/b ₖ ) 是有理数。

这部分处治了 Erd ő s 问题 #263：序列 a ₖ =22k 是否恰当这个性质，是否所有增长速率不特等指数级的级数皆有这个性质。

因为条目 a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ² ) 不及以遮掩 a ₖ =22k 的情况，这个条目也不适用于所有指数级或更慢增长的序列。

也等于a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ² ) 看成问题的分界线，"差少许"就能完满的处治了。

在这之后，陶哲轩展示了一个新的变体论断：

若是级数 a ₖ欢娱：a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ) （即下一项不会比现时项增长太快） 且∑ ( 1/a ₖ ) 拘谨。

那么不错找到 b ₖ，使得：b ₖ =a ₖ +O ( 1 ) （即 b ₖ与 a ₖ只差一个有界的常数） 且∑ ( 1/b ₖ ) 是有理数。

这又和 Erd ő s 问题 #264 联系：

其中 a ₖ =2k 时的情况被透顶处治了，因为 2k 是指数增长。

问题中的第二部分，对于 a ₖ =k! 的情况，超出了现时智力的才调规模。

新的分界线被定位到了指数增长。

就像这么……一步一步迭代贴近，就到了Erd ő s 问题 #266，亦然更高维度的变体。

陶哲轩幸免了任何数论贫乏，主要依赖有理数集的可数稠密性。（具体论证经过略）

最终，Stolarsky 意象被升沉为一个无限维的问题。

陶哲轩让维度数 d 随 k 增长，但增长的速率要保抓够慢，这么既保证拘谨又保证稠密性。

不是陶处治的第一个 Erd ő s 问题

前边提到，陶哲轩给出论断的的这个问题，是 Erd ő s 问题 #266。

由沃尔夫数学奖得回者、匈牙利数学家Paul Erd ő s（1913 年 3 月 26 日－1996 年 9 月 20 日）建议。

不外，这个问题的联系发祥最早能回想到古埃及技术——

古代埃及东说念主在进行分数运算时，只使用分子是 1 的分数。因此这种分数也叫作念埃及分数，或者叫单分子分数。

他们把所有复杂分数，皆表示成单分子分数的和，举例 3/4，一定要表示成 3/4=1/2+1/4。

故而很长一段时候（有时几千年吧），数学史家皆坚抓合计古埃及东说念主不会使用分数；当代数学家们也一度合计埃及东说念主之是以未能把算术和代数发展到较高水平，其分数运算之散乱（就长短要把真分数领悟成单分子分数）亦然原因之一。

比及数学家们发现内部隐含了多么丰富的内容，照旧是两千多年后的后话了。

OK，让咱们回到 Erd ő s 问题和 Erd ő s 本东说念主。

Erd ő s 被誉为 20 世纪最豪阔创造力的数学家和数学意象建议者之一，21 岁时就被授予数学博士学位，论文导师亦然冯 · 诺伊曼的恩师利波特 · 费杰尔（L é opold F é j é r）。

Erd ő s 一辈子联接了特等 500 位数学家，终生发表了约 1525 篇数学论文，数目之多，于今无东说念主能及。

他穷其一世，勇猛于并建议了突破数学、图论、数论、数学分析、贴近表面、围聚论和概率表面中的问题，其中大部单干作荟萃在突破数学限制，处治了该限制许多往常未处治的贫乏。

83 岁时，因腹黑病突发，Erd ő s 亏空在华沙的一个数学会议上。

如他所愿，他的墓志铭上写说念：我终于不再变笨了（V é gre nem butulok tov á bb）。

值得一提的是，Erd ő s 问题 #266 不是陶哲轩处治的第一个 Erd ő s 联系问题。

2015 年 9 月，陶哲轩在 arXiv 上挂了一篇论文《The Erd ő s discrepancy problem》，秘书证明了 Paul Erd ő s 在 20 世纪 30 年代建议的数论意象"埃尔德什互异问题"存在。

埃尔德什互异问题于 1932 年被 Erd ő s 建议，此前困扰了学术界 80 多年。

与许精深论贫乏相似，埃尔德什互异问题形容起来很肤浅，但证明难度却很大。

平凡点发扬它：

假如你有一个由 1 和 -1（举例由扔硬币飞速产生）构成的数列和常数 C。你要寻找到一个宽裕长的有限数列，使这一数列的总额大于常数 C。

有益思意思的是，为了确认这个也曾的意象，陶哲轩经过了多年手动狡计和狡计机尝试，还加入过一个专门扣问它的小分队协力专研（天然那时失败了）。

最终，破题的灵感来自德国数学家尤威 · 斯特罗斯基在陶博客下的驳倒，暗意陶扣问的另一个问题可能与埃尔德什互异问题关系。

"开始，我合计这种探求仅仅名义的。"但陶哲轩很快知道到将新念念路和已有的适度结合在一说念，很可能得到问题的证明。

这件事在当年当月，登上了 Nature，题为《数学天才处治了一个各人级谜题》。

更有益思意思的是，Erd ő s 和陶哲轩的因缘，能回想到更更更早。

1985 年，72 岁的 Erd ő s 去澳大利亚讲学。

在阿德莱德大学（8 岁起，中学生陶哲轩用 1/3 的时候在该校学习数学、物理课程）的安排下，时年 10 岁的小陶哲轩拜见了 Erd ő s。

Erd ő s 追究阅读了陶哲轩写的论文，并荧惑他说："你是很棒的孩子，连续努力！"

其后，Erd ő s 还写了推选信，推选陶哲轩到普林斯顿大学攻读博士学位。

2010 年，英国卫报评比了两千多年来"天下十大数学天才"，合计他们的立异性发现改造着咱们的天下—— Erd ő s 和陶哲轩皆榜上著名。

这两位数学民众还有一张非常经典的合影：

2013 年，Erd ő s 寿辰 100 周年之际，陶哲轩在我方的博客上共享了一张当年和 Erd ő s 的珍稀合影，以表悲悼和谢忱。

One More Thing

But！

天然 #266 被陶给出了论断，但 Paul Erd ő s 还留住了好多问题没被处治，这些问题往往是他在与其他数学家的联接中建议的，也有些是他独自念念考后变成的。

这些问题涵盖了数论、组合数学、图论、概率论等多个数学限制。

咫尺，860 个问题中，还有 580 个问题等着被探索（去掉 #266 也还有 579 个）。这些问题分离设立了 0-10000 好意思元的奖金。

这些灿烂又迷东说念主的遗产，直到今天仍激发着每一位数学家，鼓吹数学的跳跃，也让其后者从中得回新的视角和灵感。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2406.17593v3

参考衔接：

[ 1 ] https://mathstodon.xyz/@tao/113559149269764165

[ 2 ] https://terrytao.wordpress.com/2024/11/27/on-several-irrationality-problems-for-ahmes-series/

[ 3 ] https://arxiv.org/pdf/1509.05363

[ 4 ] https://www.nature.com/articles/nature.2015.18441开云官网切尔西赞助商